La ricerca in evoluzione per una grande teoria unificata della matematica

All’interno della matematica c’è una rete vasta e in continua espansione di congetture, teoremi e idee chiamata programma Langlands. Quel programma collega sottocampi apparentemente disconnessi. È una tale forza che alcuni matematici dicono che – o qualche aspetto di essa – appartiene ai ranghi stimati dei Millennium Prize Problems, un elenco delle principali domande aperte in matematica. Edward Frenkel, un matematico dell’Università della California, a Berkeley, ha persino soprannominato il programma di Langlands “una teoria della matematica unificata”.

Il programma prende il nome da Robert Langlands, un matematico dell’Institute for Advanced Study di Princeton, NJ. Quattro anni fa gli è stato conferito l’Abel Prize, uno dei più prestigiosi premi in matematica, per il suo programma, descritto come “visionario “

Langlands è in pensione, ma negli ultimi anni il progetto è germogliato in “quasi un proprio campo matematico, con molte parti disparate”, che sono unite da “una comune fonte di ispirazione”, afferma Steven Rayan, matematico e fisico matematico dell’Università del Saskatchewan. Ha “molti avatar, alcuni dei quali sono ancora aperti, alcuni dei quali sono stati risolti in modi meravigliosi”.

Sempre più spesso i matematici trovano collegamenti tra il programma originale – e la sua derivazione, le Langlands geometriche – e altri campi della scienza. I ricercatori hanno già scoperto forti legami con la fisica e Rayan e altri scienziati continuano a esplorarne di nuovi. Ha la sensazione che, con il tempo, si troveranno collegamenti tra questi programmi e anche altre aree. “Penso che siamo solo sulla punta dell’iceberg lì”, dice. “Penso che alcuni dei lavori più affascinanti che usciranno nei prossimi decenni stiano vedendo conseguenze e manifestazioni di Langlands all’interno di parti della scienza in cui l’interazione con questo tipo di matematica pura potrebbe essere stata marginale fino ad ora”. Langlands rimane misterioso, aggiunge Rayan, e per sapere dove è diretto, vuole “vedere emergere una comprensione da dove provengono davvero questi programmi”.

Una ragnatela di puzzle

Il programma Langlands è sempre stato un ballo allettante con l’inaspettato, secondo James Arthur, un matematico dell’Università di Toronto. Langlands era consulente di Arthur alla Yale University, dove Arthur ha conseguito il dottorato di ricerca. nel 1970. (Langlands ha rifiutato di essere intervistato per questa storia.)

“Ero essenzialmente il suo primo studente e sono stato molto fortunato ad averlo incontrato in quel momento”, dice Arthur. “Era diverso da qualsiasi matematico che avessi mai incontrato. Qualsiasi domanda avessi, specialmente sul lato più ampio della matematica, rispondeva chiaramente, spesso in un modo che era più stimolante di qualsiasi cosa avrei potuto immaginare”.

Durante quel periodo, Langlands gettò le basi per quello che alla fine divenne il suo programma omonimo. Nel 1969 Langlands scrisse a mano una lettera di 17 pagine al matematico francese André Weil. In quella lettera, Langlands condivideva nuove idee che in seguito divennero note come le “congetture di Langlands”.

Nel 1969 Langlands tenne conferenze in cui condivideva le sette congetture che alla fine si svilupparono nel programma Langlands, osserva Arthur. Un giorno Arthur chiese al suo consulente una copia di un documento prestampato basato su quelle lezioni.

“Me ne ha dato uno volentieri, senza dubbio sapendo che era al di là di me”, dice Arthur. “Ma è stato anche al di là di tutti gli altri per molti anni. Potrei, tuttavia, dire che si basava su alcune idee davvero straordinarie, anche se praticamente tutto ciò che conteneva non mi era familiare”.

Le congetture al centro di tutto

Due congetture sono centrali nel programma Langlands. “Quasi tutto nel programma Langlands deriva in un modo o nell’altro da quelli”, dice Arthur.

La congettura di reciprocità si collega al lavoro di Alexander Grothendieck, famoso per le sue ricerche sulla geometria algebrica, inclusa la sua predizione dei “motivi”. “Penso che Grothendieck abbia scelto la parola [motive] perché lo vedeva come un analogo matematico dei motivi che hai nell’arte, nella musica o nella letteratura: idee nascoste che non sono esplicitamente rese chiare nell’arte, ma cose che ci sono dietro che in qualche modo governano il modo in cui tutto si adatta”, dice Arthur .

La congettura di reciprocità presuppone che questi motivi provengano da un diverso tipo di oggetto matematico analitico scoperto da Langlands chiamato rappresentazioni automorfe, osserva Arthur. “‘Rappresentazione automorfica’ è solo una parola d’ordine per gli oggetti che soddisfano gli analoghi dell’equazione di Schrödinger” dalla fisica quantistica, aggiunge. L’equazione di Schrödinger prevede la probabilità di trovare una particella in un determinato stato.

La seconda importante congettura è la congettura della funzionalita’, chiamata anche semplicemente funzionalita’. Implica la classificazione dei campi numerici. Immagina di iniziare con un’equazione di una variabile i cui coefficienti sono interi, come x + 2x + 3 = 0 e cercando le radici di quell’equazione. La congettura prevede che il campo corrispondente sarà “il campo più piccolo che si ottiene prendendo somme, prodotti e multipli di numeri razionali di queste radici”, afferma Arthur.

Esplorare diversi “mondi” matematici

Con il programma originale, Langlands “ha scoperto un mondo completamente nuovo”, dice Arthur.

La propaggine, geometrica Langlands, ha ampliato il territorio coperto da questa matematica. Rayan spiega le diverse prospettive fornite dai programmi originali e geometrici. “Ordinary Langlands è un pacchetto di idee, corrispondenze, dualità e osservazioni sul mondo a un certo punto”, dice. “Il tuo mondo sarà descritto da una sequenza di numeri rilevanti. Puoi misurare la temperatura dove ti trovi; potresti misurare la forza di gravità in quel punto”, aggiunge.

Con il programma geometrico, invece, il tuo ambiente diventa più complesso, con una sua geometria. Sei libero di muoverti, raccogliendo dati in ogni punto che visiti. “Potresti non essere così interessato ai singoli numeri, ma più al modo in cui variano mentre ti muovi nel tuo mondo”, dice Rayan. I dati raccolti “saranno influenzati dalla geometria”, afferma. Pertanto, il programma geometrico “sta essenzialmente sostituendo i numeri con le funzioni”.

La teoria dei numeri e la teoria della rappresentazione sono collegate dal programma geometrico di Langlands. “In generale, la teoria della rappresentazione è lo studio delle simmetrie in matematica”, afferma Chris Elliott, matematico dell’Università del Massachusetts ad Amherst.

Utilizzando strumenti e idee geometriche, la teoria della rappresentazione geometrica espande la comprensione dei matematici delle nozioni astratte legate alla simmetria, osserva Elliot. Quell’area della teoria della rappresentazione è dove “vive” il programma geometrico di Langlands, dice.

Intersezioni con la fisica

Il programma geometrico è già stato legato alla fisica, prefigurando possibili connessioni con altri campi scientifici.

Nel 2018 Kazuki Ikeda, ricercatore post-dottorato nel gruppo di Rayan, ha pubblicato un Giornale di fisica matematica studio che secondo lui è collegato a una dualità elettromagnetica che è “un concetto noto da tempo in fisica” e che si vede nei codici di correzione degli errori nei computer quantistici, ad esempio. Ikeda afferma che i suoi risultati “sono stati i primi al mondo a suggerire che il programma Langlands è un concetto estremamente importante e potente che può essere applicato non solo alla matematica ma anche alla fisica della materia condensata” – lo studio delle sostanze allo stato solido – “e calcolo quantistico”.

Secondo Rayan, le connessioni tra la fisica della materia condensata e il programma geometrico si sono recentemente rafforzate. “Nell’ultimo anno la scena è stata preparata con vari tipi di indagini”, dice, incluso il suo lavoro che coinvolge l’uso della geometria algebrica e della teoria dei numeri nel contesto della materia quantistica.

Altri lavori stabilirono collegamenti tra il programma geometrico e la fisica delle alte energie. Nel 2007 Anton Kapustin, fisico teorico presso il California Institute of Technology, ed Edward Witten, fisico matematico e teorico presso l’Institute for Advanced Study, hanno pubblicato quello che Rayan chiama “un bellissimo documento di riferimento” che “ha aperto la strada a una vita attiva per le Langlands geometriche nella fisica teorica delle alte energie. Nell’articolo, Kapustin e Witten hanno scritto che miravano a “mostrare come questo programma può essere inteso come un capitolo della teoria quantistica dei campi”.

Elliott osserva che osservare la teoria quantistica dei campi da una prospettiva matematica può aiutare a raccogliere nuove informazioni sulle strutture che ne sono alla base. Ad esempio, i fisici di Langlands possono escogitare teorie utili per mondi con un numero di dimensioni diverso dal nostro.

Oltre al programma geometrico, si ritiene che anche il programma originale di Langlands sia fondamentale per la fisica, afferma Arthur. Ma esplorare questa connessione “potrebbe richiedere prima di trovare una teoria generale che colleghi i programmi originali e geometrici”, dice.

La portata di questi programmi potrebbe non fermarsi alla matematica e alla fisica. “Credo, senza dubbio, che [they] avere interpretazioni in tutta la scienza”, afferma Rayan. “La parte condensata della storia porterà naturalmente a incursioni nella chimica”. Inoltre, aggiunge, “la matematica pura si fa sempre strada in ogni altra area della scienza. E ‘solo questione di tempo.”

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